三角函数公式大全
三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于几何学、物理学、工程学等领域。它们描述了角度与边长之间的关系，主要涉及正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）等基本函数及其变体。以下是三角函数的一些常用公式和性质，系统归纳如下：
一、基本定义
在直角三角形中，设∠A为锐角，则：
- sin A = 对边/斜边
- cos A = 邻边/斜边
- tan A = 对边/邻边
此外，还有三个辅助函数：cot A = 1/tan A，sec A = 1/cos A，csc A = 1/sin A。
二、诱导公式
诱导公式用于化简任意角度的三角函数值。例如：
- sin(-x) = -sin x
- cos(-x) = cos x
- tan(-x) = -tan x
对于π/2 ± x、π ± x、3π/2 ± x等特殊形式的角度，可以通过这些公式快速推导出结果。
三、和差化积与积化和差
- 和差化积公式：
\[
\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
\[
\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)
\]
- 积化和差公式：
\[
\sin A \cdot \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]
\]
\[
\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]
\]
四、倍角与半角公式
- 倍角公式：
\[
\sin 2A = 2\sin A \cos A, \quad \cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A
\]
- 半角公式：
\[
\sin\frac{A}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos A}{2}}, \quad \cos\frac{A}{2} = \pm\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}
\]
五、万能公式
通过引入t = tan(x/2)，可以将所有三角函数统一表示为t的形式：
\[
\sin x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad \tan x = \frac{2t}{1-t^2}
\]
六、三角恒等式
三角函数满足许多恒等关系，例如：
\[
\sin^2 A + \cos^2 A = 1, \quad 1 + \tan^2 A = \sec^2 A, \quad 1 + \cot^2 A = \csc^2 A
\]
这些公式不仅帮助简化计算，还为解决实际问题提供了理论支持。
总之，掌握上述公式是学习三角函数的基础。熟练运用这些公式能够有效提升解题效率，同时加深对三角函数本质的理解。无论是平面几何还是动态分析，三角函数都扮演着不可或缺的角色。